Fractional Brownian motion
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新理论解释深度残差网络中的关联初始化
研究人员开发了一个新的理论框架，用于理解具有跨层关联初始化的深度残差网络的行为。他们的工作扩展了先前的猜想，证明了这些关联初始化可以在不同的随机微分方程模型之间连续过渡。该研究确定了一个关键的缩放因子和一个由Hermite过程驱动的Young微分方程控制的独特渐近极限，在某些条件下，该方程可以简化为分数布朗运动。
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新框架连接广义样条与高斯过程
本文介绍了一个广义框架，用于理解最小均方误差估计量与线性逆问题中的正则化最小二乘拟合之间的关系。该研究将这种等价性扩展到无限维设置，其中广义样条充当回归量，核空间上的广义高斯过程充当高斯向量的对应物。该形式主义利用白化/正则化算子来定义希尔伯特空间，这对于表征这些关系至关重要，它包含了现有方法并揭示了新的联系，例如分数样条与分数布朗运动之间的联系。
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新研究通过离散时间签名实现全局普适性
一篇新的arXiv论文介绍了一种使用离散时间签名在非预期和路径依赖泛函中实现全局普适性的方法。研究表明，这些签名的线性泛函可以近似各种高斯过程，包括布朗运动和赫斯特参数大于1/4的分数布朗运动。研究结果还为布朗运动驱动的随机和随机微分方程提供了近似结果。
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高斯过程极小点分析在新研究中揭晓
本文研究了高斯过程的高值极小点，重点关注超调和与极小点位置。研究表明，在某些条件下，随着极小值增加，缩放后的超调和收敛于一个指数分布的随机变量。研究还表明，极小点的条件律的弱子序列极限对应于最优协方差能量测度，如果该测度是唯一的，则发生收敛。这些发现通过平稳高斯过程、分数布朗运动和分数布朗片等例子进行了说明。
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新数学论文探讨布朗运动签名下的通用逼近
一篇新论文提出了关于粗糙路径空间上泛函的 $L^p$ 通用逼近定理，证明了时间扩展粗糙路径签名上的线性泛函可以逼近任何 $p$-可积随机过程。这项工作扩展到高斯过程，包括分数布朗运动，并对随机微分方程解的逼近具有意义。该研究于 2025 年 12 月 18 日提交至 arXiv，并于 2026 年 7 月 6 日发布了修订版。
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新型分数随机神经网络改进长记忆恢复和鲁棒性
研究人员推出了一种新颖的架构——分数随机神经网络（FSNNs），该架构将分数布朗运动纳入驱动残差动力学。该方法利用离散随机最大值原理建立伴随递归，从而在确定性网络参数下证明了投影样本随机梯度下降的均方收敛性。FSNNs 在多种应用中展现出潜力，包括具有不确定性量化的噪声回归、长记忆时间序列生成以及结构化扰动下的图像分类，与传统的布朗运动和确定性基线相比，在长记忆恢复和鲁棒性方面有所提高。