Deep Galerkin Method
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深度伽辽金方法在复杂控制问题上展现收敛性
研究人员已经证明了深度伽辽金方法（DGM）的收敛性，这是一种用于求解复杂偏微分方程（PDE）的深度学习技术，特别适用于哈密顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程。这些HJB方程对于理解均值场控制问题（MFCPs）至关重要。研究表明，当MFCP的价值函数具有足够的正则性时，DGM可以实现任意小的损失，从而使神经网络近似能够一致地收敛到真实的价值函数。数值实验进一步证明了该方法在泛化到高维HJB方程方面的有效性。
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深度伽辽金法和物理信息神经网络算法已被证明可收敛于偏微分方程解
研究人员已从数学上证明，深度伽辽金法（DGM）和物理信息神经网络（PINNs）能够可靠地收敛到一类特定的半线性偏微分方程（PDEs）的正确解。这些在科学机器学习中广泛使用的方法通过最小化PDE残差来训练神经网络以逼近PDE解。尽管此前由于目标函数的非凸性存在关于收敛到局部极小的理论担忧，但这项新工作确立了对于这些类型的方程，梯度下降确实会导向准确的PDE解。
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新的深度学习方案解决了金融建模中复杂的Ergodic BSDEs问题
研究人员开发了新颖的基于神经网络的数值方案，用于求解复杂的Ergodic Backward Stochastic Differential Equations (eBSDEs)系统。这些方法旨在逼近状态切换随机因子模型中前向效用的最优策略。提出的技术包括一种局部加性深度学习方案和一种受Deep Galerkin Method (DGM)启发的算法，两者在数值实验中均显示出有希望的性能。